с
т
а
т
и
с
т
и
к
а
Однородные тригонометрические уравнения (10 класс) PDF Печать E-mail
Математика
Автор: Admin   
30.01.2014 16:35

Учитель: Синицина С.И.

МБОУ СОШ №20 им.Милевского Н.И.

Тема: Однородные тригонометрические уравнения  (10 класс)

Цели: Ввести понятие однородных тригонометрических уравнений I и II степени;

Сформулировать и отработать алгоритм решения однородных тригонометрических

уравнений I и II степени;

Закрепить навыки решения всех видов тригонометрических уравнений через

развитие и совершенствование умений применять имеющиеся знания в изменённой

ситуации, через умение делать выводы и обобщение

Воспитание у учащихся аккуратности, культуры поведения.

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, доска, презентация

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие учащихся, мобилизация внимания.

II. Актуализация опорных знаний (Домашняя работа проверяется  консультантами до урока. Учитель подводит итог выполнения домашнего задания.)

Учитель: Мы продолжаем изучение темы “Тригонометрические уравнения”. Сегодня на уроке мы познакомимся с вами с еще одним видом тригонометрических уравнений и методами их решения и поэтому повторим изученное. Все виды тригонометрических уравнений при решении сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений.

Устная работа

  1. Какое уравнение мы называем тригонометрическим?
  2. Назовите алгоритм решения уравнения cos t = a
  3. Назовите алгоритм решения уравнения sin t = a

III. Мотивация обучения.

Учитель: нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, которые научимся решать сегодня на уроке.

Вопросы спроецированы на доску. Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “однородные”.

1.Значение переменной, обращающее  уравнение вверное равенство? (Корень)

2.Единица измерения углов? (Радиан)

3.Числовой множитель в произведении?(Коэффициент)

4.Раздел математики, изучающий тригонометрические функции? (Тригонометрия)

5.Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций?(Окружность)

6.Какая из тригонометрических функций четная?(Косинус)

7.Как называется верное равенство? (Тождество)

8.Равенство с переменной? (Уравнения)

9.Уравнения, имеющие одинаковые корни? (Равносильные)

10.Множество корней уравнения? (Решение)

IV. Объяснение новой темы

Учитель: Тема урока “Однородные тригонометрические уравнения”.

Запишем тему урока в тетрадь. Однородные тригонометрические уравнения бывают первой и второй степени.

Запишем определение однородного уравнения первой степени. Я на примере показываю решение такого вида уравнения, вы составляете алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени.

Уравнение вида а sinx + b cosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени.

Рассмотрим решение уравнения, когда коэффициенты а и в отличны от 0.

Пример1: 2sinx - 3cosx = 0

Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим

2sinx/ cosx - 3cosx/ cosx = 0

2 tgx -3 =0,         tgx =3/2,   x =  arctg3/2 + πn, nє Z,

Внимание! Делить на одно и то же  выражение можно лишь в том случае, если это выражение нигде не обращается в 0. Анализируем. Если косинус равен 0, то, чтобы всё выражение обратилось в 0, синус должен быть тоже равен 0 (учитываем, что коэффициенты отличны от 0). Но мы знаем, что синус и косинус обращаются в нуль в различных точках. Поэтому такую операцию производить можно при решении этого вида уравнений.

Уравнение вида а sin mx + b cos mx = 0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени и решают также делением обеих частей уравнения на cos mх.

Уравнение вида a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Пример2: sin2x – 3 sinx cosx +2 cos2x = 0

Коэффициент а отличен от 0 и поэтому как и в предыдущем уравнении соsх 0 и поэтому можно воспользоваться способом деления обеих частей уравнения на соs2х.

Получим tg2x – 3 tgx +2 = 0

Решаем путем введения новой переменной пусть tgx = а, тогда получаем уравнение

а2 -3 а +2 = 0             а1 = 1      а2 = 2

Возвращаемся к замене

tgx =1, x = ¼π+ πn, nє Z         tgx = 2 , x = arctg 2 + πn, nє Z

Ответ: x = ¼π + πn, nє Z,   x = arctg 2 + πn, nє Z

Если коэффициент а = 0, то уравнение примет вид  –3sinx cosx + 2cos2x = 0 решаем способом вынесения общего множителя  – cosx за скобки: – cosx (3 sinx  – 2cosx) = 0,

cosx  = 0   или  3sinx  – 2cosx = 0. Второе уравнение является однородным уравнением первой степени.

Если коэффициент с = 0, то уравнение примет вид sin2x -3sinx cosx = 0  решаем способом вынесения общего множителя sinx за скобки: sinx (sinx -3 cosx) = 0,

sinx = 0   или    sinx -3 cosx = 0.  Второе уравнение является однородным уравнением первой степени.

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения второй степени:

1.Посмотреть, есть ли в уравнении член a sin2 x.

2.Если член asin2 x в уравнении содержится (т.е. а 0), то уравнение решается делением

обеих частей уравнения на cos2x и последующим введение новой переменной а =  tgx

3. Если член asin2 x в уравнении не содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx.

Однородные уравнения вида a sin2mx + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 решаются таким же способом

V. Усвоение новых знаний

Являются ли однородными данные уравнения?

  1. sin x = 2 cos x
  2. sin 5x + cos 5x = 0
  3. sin 3x - cos 3x = 2
  4. sin2 8x – 5 sin8x cos8x +2 cos2 8x =0

VI. Физкультминутка

VII. Формирование навыков решения однородных тригонометрических уравнений

Открываем задачники стр.47 № 18.10(а), № 18.11 (а,б),18.12(г)

VIII. Самостоятельная работа (учащиеся выбираю дифференцированные задания по двум вариантам)

1 вариант                                                                     2 вариант

1) sinx  + 2cosx = 0.                                                      1)  sinx - 4cosx = 0.

2) sin2x + 2sinx cosx  -3 cos2x = 0                                2) sin2x – 4 sinx cosx +3 cos2x = 0

3) 2sin2 2x – 5 sin2x cos2x +2 cos22x = 0                     3) 3sin23x +10 sin3x cos3x +3 cos23x = 0

Правильные ответы проецируются на доску.

IX. Подведение итогов урока, выставление оценок

С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились на уроке?

Какие уравнения мы называем однородными?

Сформулируйте алгоритмы решения однородных тригонометрических уравнений первой и второй степени.

X. Задание на дом: Cоставить и решить 2 однородных уравнения первой степени и 1 однородное уравнение второй степени

Обновлено 31.01.2014 14:32
 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить